在之前的課程中，我們處於一個一維的世界，孤立地觀察單個隨機變數。現在，我們將視野拓展至 聯合機率分佈。想像同時觀察一組變數——例如學生的身高與體重，或飛鏢擊中靶板的座標。此框架使我們能以數學方式描述變數之間的互動、彼此依賴，或完全獨立的狀態。
1. 聯合累積分配函數（JCDF）
多變數分析的基礎是聯合分配函數 $F(a_1, a_2, \dots, a_n)$。它定義了多個條件同時成立的機率。
$F(a_1, a_2, \dots, a_n) = P\{X_1 \le a_1, X_2 \le a_2, \dots, X_n \le a_n\}$
此公式表示每個變數 $X_i$ 同時低於其對應閾值 $a_i$ 的機率。幾何上，在二維空間中，這代表隨機對 $(X, Y)$ 落在點 $(a, b)$ 左下角無限延伸矩形區域內的機率。
2. 密度的微小量解釋
對於連續變數，我們透過 聯合機率密度函數（JPDF），$f(x, y)$ 來描述機率。與離散情況不同，單一點的機率為零。相反地，我們關注無窮小區域：
- 隨機對 $(X, Y)$ 落入極小矩形區域的機率為：
$P\{a < X < a + da, b < Y < b + db\} = \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x, y) \, dx \, dy \approx f(a, b) \, da \, db$ - 也可表示為：$P\{x < X < x + dx, y < Y < y + dy\} \approx f(x, y) dx dy$
這揭示了 $f(x, y)$ 是相對於 面積 笛卡兒平面中該區域的「密度」。
3. 依賴性與幾何限制
在機率中， 非獨立的隨機變數稱為相關變數。這不僅是代數性質，更常體現在機率分佈的 支援集 中。
範例 1c：隨機圓周點
考慮一個點 $(X, Y)$ 均勻地選自以 $(0,0)$ 為中心、半徑為 $R$ 的圓內。變數 $X$ 與 $Y$ 是 相關 因為知道 $X = x$ 會限制 $Y$ 的可能值。
若 $X$ 接近 $R$，則 $Y$ 必須接近 $0$。數學上，$Y$ 受到限制：$-\sqrt{R^2 - X^2} \le Y \le \sqrt{R^2 - X^2}$。正是這個邊界使得聯合密度無法分解為獨立的邊際密度。
🎯 核心洞察
聯合分佈定義了共享的機率空間。當一個變數的實現限制了另一個變數的可能結果（如範例 1c、1d、1e 所示），我們已掌握依賴性的本質。